Physics-Informed Neural Networks (PINNs) 是一种将物理知识融入神经网络的技术，主要用于求解偏微分方程（PDEs）和其他受物理定律约束的问题。传统的神经网络通常需要大量的标注数据来进行训练，但在物理问题中，获得大规模的高质量数据可能非常困难。PINNs通过将已知的物理规律（如守恒定律、边界条件等）引入损失函数中，减少了对大规模数据的依赖，提高了模型的泛化能力。
PINNs可翻译成物理信息神经网络，或者物理引导神经网络。
一、PINNs 的基本原理
- 物理约束：在PINNs中，物理约束通常通过损失函数的形式被显式地加入模型中。例如，求解流体力学中的Navier-Stokes方程时，可以将方程的残差作为损失函数的一部分，使网络在训练过程中自动满足物理方程。
- 自适应权重：为了平衡数据驱动的损失和物理约束的损失，PINNs引入了自适应权重机制。这种机制能够动态调整物理损失和数据损失之间的比重，从而在复杂问题上取得更好的效果。
- 梯度传播：PINNs使用自动微分来计算物理方程的导数，确保在训练过程中能够有效地优化神经网络参数。这种方法可以在不显式求解方程的情况下，获得与物理模型一致的解。
二、最新研究进展
- 高效求解复杂PDEs：最新的研究表明，PINNs在求解复杂的多尺度、多物理场问题上表现出色。例如，在量子力学、气候建模、材料科学等领域，PINNs已被成功应用，并展示了其在高维问题上的优势。
- 扩展至多任务学习：近期的研究探索了如何将PINNs扩展到多任务学习中，使其能够同时求解多个相关联的物理问题。这种方法不仅提高了计算效率，还提升了模型的整体准确性。
- 混合物理模型和数据驱动模型：为了进一步增强模型的精度，研究者们正在探索将PINNs与传统的物理模拟和数据驱动模型相结合。这种混合模型能够在一定程度上克服单一方法的局限性，实现更高的预测精度和更广泛的应用范围。
- 自适应采样策略：随着PINNs的应用范围扩大，如何有效地选择训练样本成为一个关键问题。最新的研究提出了一些自适应采样策略，能够根据问题的特性动态选择最有信息量的样本点进行训练，从而提高训练效率并减少计算成本。
- 计算效率的提升：由于PINNs通常需要大量的计算资源，研究者们正在开发新的优化算法和并行计算技术，以提升PINNs的计算效率。这些进展使得PINNs在工业界和学术界的应用变得更加实际可行。
总体而言，Physics-Informed Neural Networks (PINNs) 是一种具有巨大潜力的技术，正在各个领域中展示其优势。随着计算资源的提升和算法的改进，PINNs有望在未来的科学计算和工程应用中发挥更加重要的作用。
三、判断是否适合使用 PINNs 的一般标准
- ✅ 有明确物理方程（ODE/PDE 等）
- ✅ 数据有限（特别是边界/初始点）
- ✅ 需从数据中推理或反演未知参数/边界条件
- ✅ 传统数值解太慢，需 surrogate model
- ✅ 拥有一定算力资源支持训练
- ✅ 需要解释性更强的预测模型（相比黑盒神经网络）
四、PINN的高维非线性建模策略与变种比较
工业场景中的故障诊断问题常涉及高维度（空间维度多、参数维度高）、强非线性和逆问题求解需求。为此，标准PINN框架衍生出多种改进策略和变种模型来提升适应性。
4.1 高维与多尺度问题：高维主要指空间维度升高（例如3D结构）或参数维度增加（同时估计多个未知参数）。此类问题会导致PINN训练困难，表现为收敛变慢或精度下降。XPINN（Extended PINN）通过空间-时间域分解来缓解高维压力arxiv.org arxiv.org。其做法是将求解域划分为若干子域，每个子域使用独立的网络训练，并在接口处交换信息arxiv.org。这样一来，每个网络只需学习全局问题的一部分，降低了复杂度，而且子网络可以并行训练，加速计算arxiv.org arxiv.org。XPINN允许针对不同子域选用不同网络结构和超参数，灵活性更强arxiv.org。例如，对于一个包含固体和流体区域的耦合问题，可以用两个PINN子网分别处理固体PDE和流体PDE，在交界面满足连续条件arxiv.org arxiv.org。又如对于时间长区间的问题，可按时间分段，用XPINN逐段求解以保持精度。除了XPINN，自适应采样也是重要策略arxiv.org：在高维情况下，误差往往集中于局部区域（例如边界层处）。Residual-based adaptive refinement (RAR)方法会动态监测PINN的残差分布，将更多训练点投放在高残差区域arxiv.org。这样网络重点学习困难区域，可更快逼近复杂解。此外，高维情况下网络参数多，容易陷入局部极小值，自适应调整学习率（如学习率余弦退火、warm-up等）有助于更有效地探索损失面arxiv.org arxiv.org。总的来说，高维多尺度问题需要结合区域划分、重点采样和优化调度等综合手段来保证训练效果。
4.2 非线性与刚性问题：非线性PDE（如Navier-Stokes、非线性弹性）会导致PINN的损失函数高度非凸，训练难度上升。而刚性问题（stiff，用于描述存在多时间尺度的系统）则可能出现网络难以同时近似快慢变量的问题。针对非线性，常用策略包括：1）迁移学习/逐步训练：先训练线性简化版本，再将网络参数用于非线性版本作初始arxiv.org。例如燃烧不稳定问题中，先不考虑非线性源项训练线性声学PINN，再逐步加入非线性项。2）多任务权重平衡：非线性PDE通常源于多个物理规律叠加，对应损失的不同部分。可采用自适应权重PINN（Self-Adaptive PINN, SA-PINN），令损失权重作为可以训练的参数，网络自动调节权重大小，使各部分残差梯度趋于均衡arxiv.org。实践证明这有助于应对非线性项主导或量级差异大的情况，加快收敛并避免某部分误差始终居高不下arxiv.org arxiv.org。3）激活函数调控：对于刚性问题，可采用分段线性的ReLU或物理意义更强的特殊激活，以更好表达陡峭变化。还有多域时间步进（XPINN时间子域划分）等方法。需要强调的是，PINN解决刚性问题仍具挑战性，是当前研究热点之一，一些变体（如基于Runge-Kutta的PINN、多尺度PINN）正在探索之中。
4.3 逆问题求解：逆问题是PINN的一大强项，即利用部分可观测数据推断未知参数或场分布。在PINN中，这通过将未知量视为扩展参数共同训练来实现pmc.ncbi.nlm.nih.gov pmc.ncbi.nlm.nih.gov。例如未知参数作为网络额外输出节点或直接作为待优化变量插入损失函数，利用物理残差和数据误差的共同作用，将其收敛到正确值。PINN求解逆问题相比传统方法（如最小二乘优化有限元）有以下优势：一是一次训练同时获得参数和场，避免了每假设参数一次仿真的反复迭代pmc.ncbi.nlm.nih.gov。二是物理方程提供正则，使解即便在观测数据稀疏时也有良好约束pmc.ncbi.nlm.nih.gov pmc.ncbi.nlm.nih.gov。事实上，Raissi等人开创PINN时重点验证了其在参数辨识和隐含函数发现等逆问题上的卓越性能pmc.ncbi.nlm.nih.gov。值得注意的是，逆问题往往病态或不适定，为提高稳健性，现代PINN引入了正则化（如Tikhonov正则）或贝叶斯PINN（Bayesian PINN, 在训练后进行参数后验分布推断）来量化不确定性。后者属于PINN的Bayesian变体，可在给出参数估计值的同时给出可信区间，提高诊断决策的可靠性ww2.mathworks.cn。在工程故障诊断中，Inverse PINN概念常被提及，意指专门用于反演系统健康状态的PINN模型pmc.ncbi.nlm.nih.gov。例如前述GAN+PINN架构中，PINN承担的正是逆问题求解任务，根据温度、压力等工况数据回推可能的故障参数变化pmc.ncbi.nlm.nih.gov pmc.ncbi.nlm.nih.gov。逆问题PINN已成功应用于结构损伤（推断刚度衰减）、流体渗透（推断渗透率场）等领域，展示了高度灵活的适应性。
4.4 PINN主要变种适用性对比：综上，不同PINN变体针对不同困难做出改进：
- 自适应PINN（Adaptive PINN）：包括自适应权重和自适应采样两方向。前者通过动态调整损失项权重，解决多损失不平衡问题，已在湍流RANS求解中证明可提升高Re数情况下的精度arxiv.org arxiv.org。后者通过重点采样残差大的区域，适用于存在局部剧烈梯度或边界层的问题，可加快收敛arxiv.org。总体来说，自适应PINN是一种训练策略改进，可与其它变种结合使用，在机械、能源等各领域通用。
- Fourier PINN（F-PINN）：针对多尺度高频问题。它在网络中预设稠密的傅里叶基底，将输入坐标映射到高频特征空间，从而显著增强网络逼近高频振荡解的能力openreview.net openreview.net。同时配合自适应基频选择算法，自动挑选主要频率分量openreview.net。Fourier PINN在涉及波传播、震动、高雷诺湍流等问题中效果突出。例如在一维声学波问题中，Fourier PINN能比标准PINN更好地学习到尖峰状压力分布openreview.net。因此，它适用于求解波动方程、振动问题等具有高频特征的工业场景（如超声检测、燃烧振荡）。
- XPINN（扩展PINN）：通过空间时间分区实现并行求解和针对性训练arxiv.org。非常适合大规模复杂域（如长管道、复杂结构）以及多物理强耦合（不同区域物理方程不同）的问题。XPINN的子域独立网络使其在分布式计算环境中优势明显，可将大型问题拆解后大幅降低单个网络负担arxiv.org。例如，在航空发动机内部不同模块（压气机、燃烧室、涡轮）分别训练PINN，再在界面处匹配流量/温度，能更高效地得到整体解。这对超大体系的数字孪生具有意义。当然，XPINN需要处理子域接口连续性的技术细节，但已有文献给出了严格保守型(cPINN)和广义XPINN框架以保证解的物理一致性arxiv.org arxiv.org。
- 其他变体：如贝叶斯PINN用于不确定度量化，变分PINN (VPINN)通过引入弱形式积分提高对复杂几何适应性ww2.mathworks.cn等。这些变体各有针对的侧重点，在此不一一展开。
表1：主要PINN变体方法及其特点
| 变体方法 | 核心思想与适用场景 |
|---|---|
| 自适应PINN | 动态调整损失权重或采样点分布，使训练聚焦难学部位arxiv.org；适用于损失梯度不平衡、局部梯度陡峭的问题，提高收敛速度和精度。常用于湍流、高非线性多项损失任务arxiv.org。 |
| Fourier PINN | 在网络中加入傅里叶基底以捕获高频/多尺度解openreview.net；适合波传播、振动等高频现象（声学、弹波、涡振），解决标准PINN对高频模式学习不佳的问题openreview.net。 |
| XPINN (扩展PINN) | 将求解域分块，子域网络并行训练并在界面交握arxiv.org；适用于超大规模或多物理耦合系统（分区后问题简化），提供更好的扩展性和并行性能，已在复杂气动/传热/结构耦合问题上成功应用arxiv.org。 |
| Bayesian PINN | 在PINN基础上引入贝叶斯推理，对网络参数/输出构建概率分布；适用于需要结果不确定度评价的场景（如核安全裕度评估），提高模型决策可靠性。 |
| 变分PINN (VPINN) | 利用变分弱形式，将试探解以高次基函数近似，物理约束以积分形式加入；对复杂几何和高阶连续性要求降低，提升了收敛性。适用于高阶PDE、复杂几何结构的问题sciengine.com。 |
表1：列出了PINN的若干重要变种方法及其特点。自适应PINN着重解决训练过程中的梯度不均衡与采样低效问题；Fourier PINN旨在增强对高频、多尺度解的拟合能力；XPINN通过空间/时间分解来应对大规模和多物理耦合；Bayesian PINN和VPINN则分别关注不确定度量化和求解过程的数学形式改进等。它们为PINN在不同工业场景下的应用提供了有力工具。
推荐Ben Moseley的关于PINNs的文章和Demo程序：
So, what is a physics-informed neural network?
https://github.com/benmoseley/harmonic-oscillator-pinn