Fourier Neural Operators (FNOs) 是一种用于学习和模拟偏微分方程（PDEs）的新型神经网络架构。FNOs 利用傅里叶变换来处理高维函数空间上的操作，从而在处理复杂的物理和工程问题时表现出色。以下是对 Fourier Neural Operators 的详细解释：
1. 背景与动机
偏微分方程（PDEs）在物理、工程和科学计算中广泛应用，描述了许多自然现象如流体动力学、热传导和电磁场。然而，数值求解 PDEs 通常需要大量的计算资源。传统的神经网络虽然在很多任务中表现优异，但在直接处理高维函数空间时效率不高。
2. Fourier Neural Operators 的核心思想
FNOs 的核心思想是利用傅里叶变换将函数空间中的操作转化到频域中进行处理，然后再通过逆傅里叶变换回到原始空间。这种方法有以下几个关键步骤：
- 傅里叶变换：
- 对输入数据进行傅里叶变换，将其从时域（空间域）转换到频域。
- 频域操作：
- 在频域中，使用神经网络对傅里叶系数进行操作。这种方式可以更有效地捕捉全局特征，特别是在处理复杂的非线性问题时。
- 逆傅里叶变换：
- 对经过操作的傅里叶系数进行逆傅里叶变换，恢复到时域（空间域），得到最终的输出结果。
3. 架构细节
FNO 的具体架构通常包括以下几个部分：
- 输入层：
- 将输入数据映射到一个高维空间，通常使用一个简单的神经网络层。
- 傅里叶变换层：
- 对高维数据进行傅里叶变换，获取其频域表示。
- 频域神经网络层：
- 在频域中应用神经网络，对傅里叶系数进行操作。这个过程可以包括多个频域层，每层都进行一定的非线性变换。
- 逆傅里叶变换层：
- 将修改后的傅里叶系数进行逆傅里叶变换，得到时域（空间域）中的输出。
- 输出层：
- 将频域转换后的数据映射回原始空间，得到最终的预测结果。
4. 优点
- 高效性：通过傅里叶变换处理全局特征，可以在较少的计算资源下解决复杂的高维问题。
- 准确性：能够捕捉到输入数据的全局特征，提高了对复杂非线性现象的建模能力。
- 泛化性：在处理不同类型的 PDEs 时表现出良好的泛化能力，适用于多种物理和工程问题。
5. 应用
FNOs 在许多领域中都有广泛的应用，包括但不限于：
- 气候和天气预测
- 流体动力学模拟
- 材料科学中的微观结构预测
- 其他涉及 PDEs 求解的科学计算和工程问题
neuraloperator is a comprehensive library for learning neural operators in PyTorch. It is the official implementation for Fourier Neural Operators and Tensorized Neural Operators.