论文Beyond Closure Models: Learning Chaotic Systems via Physics-Informed Neural Operators详细探讨了如何使用物理信息神经算子（Physics-Informed Neural Operator，PINO）来克服现有混沌系统模拟方法的局限性。现有方法依赖于所谓的“闭合模型”（closure models），但这些模型存在根本性的不足，尤其是在长期统计估计中的表现。
在混沌系统模拟中的重要应用，尤其是在气候建模、湍流模拟等计算量庞大的问题上，PINO方法展示了其巨大的潜力。相比传统的闭合模型，PINO不仅在效率上有显著提升，还在精度上有大幅改善。未来的工作可以进一步扩展PINO在其他物理系统中的应用，并通过更复杂的物理信息约束提高模型的性能。
论文作者为Chuwei Wang, Julius Berner, Zongyi Li, Di Zhou, Jiayun Wang, Jane Bae, Anima Anandkumar，均来自加州理工学院（California Institute of Technology，Caltech）。
1. 研究背景与问题定义
在气候建模、飞行器设计和核聚变等领域，科学家们面临的一个共同挑战是混沌系统的长期预测。混沌系统因其对初始条件极其敏感的特性，使得小的误差会随着时间的推移迅速放大，导致预测轨迹的偏离。因此，传统的数值模拟方法必须在极细的时空网格上进行高保真模拟，以将离散化误差降到最低。这种模拟方法通常被称为全解析模拟（Fully-Resolved Simulations，FRS），但这种方法的计算成本极高。例如，大气中的一个小区域的高保真模拟可能需要数月时间和数PB（千兆字节）的内存。
为了减少计算成本，研究人员通常使用粗网格进行模拟，并通过闭合模型（closure model）来修正误差。闭合模型旨在弥补粗网格中未捕捉到的精细尺度的信息。例如，在湍流模拟中，大涡模拟（LES）就是一种典型的粗网格方法。然而，闭合模型的设计依赖于物理直觉，通常需要大量的领域知识和假设，且这些模型在真实的复杂系统中表现往往不佳。
2. 闭合模型的局限性
基于机器学习的闭合模型近些年成为热点研究领域，但即便是这些数据驱动的方法也存在固有的局限。一个关键问题是这些模型通常依赖大量高保真的全解析模拟数据来进行训练，这在许多现实问题中是无法实现的。此外，论文提出了一项更为根本的理论发现，即闭合模型方法在本质上存在“非唯一性问题”。由于闭合模型的学习是基于粗网格空间的，而混沌系统在粗网格下的映射是非唯一的，因此即使模型的复杂度再高，也无法准确地重建系统的长时间行为。
具体来说，论文指出，由于粗网格的分辨率低，导致许多不同的真实轨迹可能会映射到相同的粗网格值，这使得闭合模型无法区分这些不同的轨迹。最终，模型只能学到一个平均值，这个平均值并不能准确反映混沌系统的真实动态，从而在长期模拟中导致误差的迅速积累。
3. PINO方法的提出与优势
为了克服这些局限性，论文提出了一种新的学习框架——基于物理信息的神经算子（PINO）。与传统的闭合模型不同，PINO方法不受限于粗网格，而是通过学习函数空间之间的映射，能够在不同分辨率下进行模拟。具体来说，PINO模型通过以下步骤实现混沌系统的高效模拟：
- 训练步骤：首先，PINO模型在来自粗网格求解器的模拟数据上进行初步训练。由于粗网格模拟的计算成本相对较低，因此可以获取足够的数据来进行初步训练。
- 微调步骤：在初步训练后，PINO模型通过少量的全解析模拟数据（FRS）以及基于物理定律的损失函数进行微调。这一过程大大减少了对高保真数据的依赖。
通过这种方法，PINO模型能够高效地近似混沌系统的长期统计量，并且相较于传统的闭合模型和粗网格求解器具有显著的优势。论文的实验表明，PINO模型在保持低误差的同时，速度比全解析模拟快了120倍，而传统的闭合模型在相同数据集上的误差却高达205%，速度则比PINO慢58倍。
4. 理论分析
论文通过一项重要的理论贡献证明了，传统的闭合模型在粗网格上学习的映射是“病态”的，即这些模型不能准确地近似混沌系统的长期统计特性。相反，PINO方法通过使用神经算子直接在函数空间中学习解决了这一问题，并且证明了PINO模型可以在较小的训练数据下，逼近系统的长期统计量。
此外，论文提出了一个新的理论框架——功能Liouville流（Functional Liouville Flow），用于分析混沌系统的长期统计估计问题。通过这个框架，作者从理论上解释了PINO方法的优越性，并证明了该方法的收敛性，表明即使在混沌系统中，只要模型的单步预测误差在合理范围内，PINO仍然能够准确估计长期统计量。
5. 实验验证
为了验证PINO方法的有效性，论文在流体动力学领域的两个典型混沌系统上进行了实验：1D的Kuramoto-Sivashinsky方程和2D的Navier-Stokes方程。实验结果表明，PINO模型在长时间统计预测中的表现远优于传统的闭合模型和其他基于机器学习的模型。
- Kuramoto-Sivashinsky方程：PINO模型在该方程上的相对误差为12%，相比之下，传统的闭合模型和单状态模型的误差都较大。
- Navier-Stokes方程：PINO模型在该方程上的相对误差为19%，在不同的统计量（例如能谱、涡量分布等）上也优于传统方法。