凸优化用在火箭助推器回收降落上，本质上是：把一个本来非常复杂、非线性的“怎么安全、节省燃料地降落”问题，改写成一类计算机能又快又稳定求解的凸优化问题，再在飞行电脑上实时解出来，指导推力和姿态控制。
一、火箭助推器回收降落要解决什么问题？
以猎鹰 9 一子级为例，从控制/优化角度看，助推器回收降落主要是一个有约束的最优控制问题：
· 状态变量：位置（x,y,z）、速度（vx,vy,vz）、姿态、角速度、剩余推进剂质量等；
· 控制变量：推力大小 T(t)、推力方向（发动机矢量）、栅格翼偏角、冷气体姿控等；
· 目标函数：通常是最小燃料消耗，或在给定燃料下最大化着陆安全裕度；
· 约束：包括动力学约束（刚体动力学和质量变化方程）、推力大小和偏转角约束、结构载荷约束、终端着陆条件约束、以及飞行走廊等安全区域约束。
把这些东西全放一起，就是一个大型的“带约束非线性最优控制问题”。
二、为什么要用凸优化而不是随便一个非线性优化？
传统非线性规划（NLP）或启发式搜索有几个致命问题：
1. 非凸问题会有很多局部最优解，往往不知道算出来的是不是全局最优；
2. 收敛时间和结果不可预测，迭代次数、是否收敛都不稳定；
3. 难以给出“肯定能找到可行解/最优解”的数学保证，这对安全关键系统是大问题。
而如果能把问题变成凸优化问题，情况就完全不同：目标和约束都是凸的时，任何局部最优都是全局最优；有成熟的内点法、二阶锥规划（SOCP）、线性规划（LP）求解器，收敛性和精度都有强理论保证，可以控制运算时间，机载实时求解成为可能。
三、原始的助推器着陆问题有哪些“非凸性”？
典型非凸来源包括：
1. 推力大小的“环状”约束：推力大小必须在 [T_min, T_max] 之间，是空心球壳/圆环，集合本身是非凸的；
2. 推力方向锥形限制：推力相对火箭纵轴偏转角有限制，涉及向量范数和比值，约束非线性、非凸；
3. 六自由度动力学和气动力的非线性；
4. 发动机开关、模式切换等“离散”决策，会引入混合整数和非凸结构。
直接把这些非凸约束塞给一个通用非线性规划求解器，很难保证既快又稳。
四、“无损凸化”是怎么把它“变成凸”的？
Acikmese、Blackmore 等人的关键思想是：通过引入新变量和适当的松弛，把非凸约束变成凸约束，然后证明这种松弛是“无损”的——凸问题的最优解一定满足原来的非凸约束，因此也是原问题的全局最优解。
典型步骤包括：
1. 时间离散化 + 动力学线性化：把连续最优控制问题离散成有限维线性系统。
2. 将推力“球壳”约束 [T_min, T_max] 松弛为球约束 [0, T_max]：先允许 0 到 T_min 这段本来不允许的区域，再通过目标函数和终端约束设计，证明最优解不会停在这段区域，从而松弛是无损的。
3. 将推力方向等限制写成二阶锥约束，例如范数形式 ‖a_k‖ ≤ b_k，这属于标准 SOCP 约束，具有凸性。
4. 通过严格证明：如果原非凸问题有可行解，松弛后的凸问题也有可行解，并且凸问题的最优解自动满足原来的非凸约束，因此同时是原问题的全局最优解。
五、在火箭回收中的实际使用方式：分层控制结构
在实际工程中，凸优化通常处于“轨迹规划 / 制导”这一层：
1. 最上层（轨迹/制导）：每隔几十毫秒到几百毫秒，基于当前状态，构建一个有限预测时域的凸优化问题，求出未来几秒的“最优轨迹”和对应推力序列；
2. 中间层（姿态与推力控制）：接收上层给出的期望推力矢量，用传统控制（如 PID/LQR/非线性控制）驱动发动机矢量、栅格翼和姿控系统去跟踪；
3. 底层（执行机构与故障管理）：执行发动机节流、点火、舵机控制、落脚架展开，以及故障检测与冗余管理。
在这个结构中，凸优化负责“算清楚下一段时间内最佳的下落路径和推力计划”，下面的控制器负责让火箭沿着这条路径飞。
六、如何处理偏差和不确定性？
实际飞行中有风、发动机推力偏差、质量估计误差等不确定性，轨迹会和计划产生偏差。在凸优化框架下，可以通过鲁棒优化或机会约束等方式，把不确定性对轨迹偏差的统计要求纳入到优化问题中，比如：
· 要求“违反约束的概率不超过 1%”；
· 在最坏情形的扰动范围内，仍然保持落在安全着陆区。
七、复杂六自由度问题中的连续凸化
当加入六自由度刚体动力学、强气动力和状态触发约束等复杂因素时，单次线性化的凸问题可能不够精确。这时常用“连续凸化 / 递推凸化”（successive convexification）：
1. 从一个初始轨迹出发，在其附近线性化动力学和约束，构造并求解一个凸优化问题；
2. 得到新的轨迹后，再以它为中心重新线性化，继续求解新的凸问题；
3. 经过若干次迭代，轨迹收敛到满足约束且性能优良的解。
八、CVXGEN 等代码生成工具如何保证实时性？
为了在机载计算机上实现毫秒级的求解时间，工程上通常使用如 CVXGEN 之类的凸优化代码生成工具：
1. 预先分析问题结构（变量规模、稀疏结构、约束类型等）；
2. 自动生成针对该结构高度优化的 C 代码，避免运行时开销；
3. 在小规模问题上实现毫秒级或更快的求解性能。
九、直观几何图像的理解
可以把整个问题想象为：在状态空间里存在一个“安全走廊”，由位置、速度、姿态、质量等构成，推力约束和姿态约束限制了每一步可行的“方向和步长”。凸优化要做的，就是在这个走廊里，找到一条从“当前状态”走到“安全着陆状态”的最省油路径。
无损凸化保证：虽然原始问题中推力有“最小值”等非凸约束，但通过适当松弛和代价设计，最优解自然会贴在原来的物理边界上，而不会利用松弛出来的“非法区域”，所以松弛并不会引入假解。
十、一句话压缩总结
火箭助推器回收降落，从数学上看是一个“在复杂约束下求燃料最优、安全最优轨迹”的问题，其中许多约束天生是非凸的（最小推力、推力方向限制、六自由度非线性动力学等）。通过无损凸化和递推凸化等方法，可以把这类非凸最优控制问题转化为一系列凸优化问题，再用专门定制的凸优化求解器在机载计算机上实时求解，为每个控制周期生成“最佳下落路径”和推力指令，这构成了猎鹰 9 等现代可回收火箭实现高精度自动着陆的重要数学基础之一。
一、总体思路：我们到底想干什么？
想象一个极简版“猎鹰 9”竖直落地问题：
· 只有一个维度：竖直高度 h(t)；
· 推力只能朝上；
· 我们希望从初始高度 h₀、向下的速度 v₀<0 开始，在给定时间 T_f 时刻“正好在地面、高度为 0，速度为 0（或很小）”；
· 同时尽可能少烧燃料。
从控制角度看，这就是一个“如何在有限时间内刹住并恰好落地”的最优控制问题。但真正麻烦的是——现实中的发动机有很多约束，比如最小推力、最大推力、推力方向限制等。这里我们先聚焦在“最小推力”这一点。
现实发动机通常是：要么关掉，要么推力在 [T_min, T_max] 区间内工作。于是，推力的可行集合是：
U = {0} ∪ [T_min, T_max], 0 < T_min < T_max
也就是说，(0, T_min) 这段被“挖空”了，这个集合本身是非凸的，这也是我们需要“凸化”的根本原因。
二、一维垂直降落的玩具动力学模型
先写一个极简动力学（暂不考虑质量变化）：
· 高度 h(t)：向上为正；
· 速度 v(t)：向上为正；
· 控制量为推力 T(t)，向上；
动力学方程可以写成：
ẋ₁ = v(t)
ẋ₂ = T(t)/m − g
其中 m 暂时看作常数，g 为重力加速度，向下（所以是 “−g”）。
边界条件为：
· 初始：h(0) = h₀, v(0) = v₀；
· 终端：h(T_f) = 0, v(T_f) = 0（理想软着陆）。
发动机推力约束为：
· 要么关机：T(t) = 0；
· 要么开机：T(t) ∈ [T_min, T_max]。
目标函数可简单设为：
min ∫₀^{T_f} T(t) dt
可以理解为总推力积分（总冲量），与燃料消耗线性相关。
三、为什么这个问题是“非凸”的？
从凸优化视角看，要满足两点：
1）决策变量的可行集合要是凸集；
2）目标函数和约束在该集合上是凸的（目标凸、等式约束仿射、不等式约束定义凸集）。
在这里，决策变量是控制函数 T(t) 的轨迹：
· 目标 ∫ T(t) dt 是线性的，因此是凸的；
· 动力学约束是线性的微分方程（离散后是线性等式）；
· T ≤ T_max、T ≥ 0 这类约束都是凸的（线性不等式）；
· 但是核心问题在于：T(t) ∈ {0} ∪ [T_min, T_max]，这是“一个点 + 一个区间”的并集，明显不是凸集。
因此，即使动力学是线性的、目标是线性的，只要控制域是这样的并集，这个最优控制问题仍然是非凸的。
四、第一步：时间离散化，把最优控制变成有限维优化
为了用通用优化器（包括凸优化器），我们通常把时间区间 [0, T_f] 离散化：
· 把 [0, T_f] 切成 N 个等长时间步，步长 Δt = T_f / N；
· 用离散时刻 k = 0,1,…,N 表示。
定义离散变量：
· 高度 h_k ≈ h(kΔt)；
· 速度 v_k ≈ v(kΔt)；
· 推力 T_k ≈ T(kΔt)。
用前向欧拉法离散动力学：
h_{k+1} = h_k + Δt · v_k
v_{k+1} = v_k + Δt · (T_k/m − g)
边界条件：
· h_0 = h₀, v_0 = v₀；
· h_N = 0, v_N = 0。
离散后推力约束：
T_k ∈ {0} ∪ [T_min, T_max], k = 0,…,N−1
目标函数离散为：
min Σ_{k=0}^{N−1} T_k Δt
如果我们暂时忽略“最小推力”和“开关结构”，只保留 0 ≤ T_k ≤ T_max，那么整个问题就变成了一个线性规划（LP）：
· 目标 Σ T_k Δt 线性；
· 动力学约束线性等式；
· box 约束线性不等式；
· 终端约束线性等式。
这是完全凸的。关键问题是：能不能把原来的非凸集合 {0} ∪ [T_min, T_max] 松弛成 [0, T_max]，同时不丢失最优解？
五、“无损凸化”：把非凸推力集合松弛为凸集合
我们考虑如下“松弛”：
· 原约束：T_k ∈ {0} ∪ [T_min, T_max]；
· 松弛约束：0 ≤ T_k ≤ T_max。
直觉上，松弛后可行集合更大，所以松弛问题的最优值不大于原问题的最优值。关键是要证明：在松弛问题的最优解中，不会出现 0 < T_k < T_min 的情况，也就是说，最优解不会用到那一段被“新放开的区域”。
类比现实生活：在“最小化燃料”的前提下，与其一直半踩油门，不如在该刹车的时候踩一脚实在的。在本问题结构下，可以构造证明：任何出现在 (0, T_min) 区间内的推力使用，都可以用“在某些时刻关机 + 在某些时刻用不小于 T_min 的推力”替代，且不增加总推力积分、不破坏终端条件。
更正式地说：在线性动力学 + 线性目标下，系统对推力序列的响应具有某种“线性可加性”，使得小推力长时间作用可以被等效为大推力短时间作用。通过一类“挤压式”的构造，可以证明松弛问题的最优解完全可以选择 T_k ∈ {0} ∪ [T_min, T_max]，从而松弛是无损的（lossless）。
六、引入发动机模式变量：从“半连续输入”到凸优化
如果进一步形式化，可以在离散问题中引入一个“发动机开关变量” σ_k：
· σ_k = 0：发动机关机；
· σ_k = 1：发动机开机。
原来的推力约束可以等价写成：
σ_k ∈ {0,1}
T_k ≥ σ_k T_min
T_k ≤ σ_k T_max
这时问题变成了带二元变量的混合整数规划（MILP），更加非凸。
凸化的关键一步是：把 σ_k ∈ {0,1} 放松为连续变量 0 ≤ σ_k ≤ 1。这样配合 T_k ≥ σ_k T_min、T_k ≤ σ_k T_max，所有约束都是线性的，问题变成纯凸（甚至是 LP 或 QP）。随后，再通过与前一节类似的结构性证明，说明在最优解中 σ_k 会自动跑到 0 或 1，因此这一放松也是无损的。
七、把它正式写成一个“凸优化问题”的标准形式
经过上述离散化和松弛，可以得到一个典型的凸优化问题，变量包括：
· 状态：{h_k, v_k}, k = 0,…,N；
· 控制：{T_k, σ_k}, k = 0,…,N−1。
目标函数：
min Σ_{k=0}^{N−1} T_k Δt
约束包括：
1）初值约束：h_0 = h₀, v_0 = v₀；
2）线性动力学约束：
h_{k+1} = h_k + Δt · v_k
v_{k+1} = v_k + Δt · (T_k/m − g)
3）终端约束：h_N = 0, v_N = 0；
4）推力和开关变量约束（松弛后）：
0 ≤ σ_k ≤ 1
T_k ≥ σ_k T_min
T_k ≤ σ_k T_max
T_k ≥ 0
这是一个标准的凸优化问题（通常是 LP 或 QP）。结合“无损凸化”的证明，我们知道最优解自动满足 σ_k ∈ {0,1}，从而也满足原始物理推力约束。
八、回到“火箭助推器回收”的现实意义
上面这一大圈，是在一个 1D 玩具模型里演示了几件事：
1）原始问题因为推力集合 {0} ∪ [T_min, T_max] 的缘故是非凸的；
2）通过引入辅助变量和松弛，可以把它改写成一个凸优化问题；
3）在适当设计目标与约束的情况下，松弛是无损的，凸问题的最优解自然满足原来的物理约束；
4）一旦变成凸问题，就可以用成熟的 convex solver（LP/QP/SOCP）做实时求解；
5）在真正的火箭中，这一套通常被放在“轨迹规划/制导”层，下面再叠加姿态控制和执行机构控制等模块。
如果把模型从 1D 扩展到 2D/3D，推力变成向量 T⃗_k，推力方向、偏转角等约束可以写成二阶锥约束（例如 ‖T⊥‖ ≤ tan(θ_max)·T_z），整个问题自然升级为二阶锥规划（SOCP）。这就是很多火箭回收论文里提到的“基于 SOCP 的轨迹优化”的来历。
在工程实践中，还会叠加非线性气动力、六自由度刚体动力学等，这时通常会在这一套“凸化框架”上使用连续凸化(successive convexification)，即：选一个初始轨迹，线性化得到一个凸问题，求解得到新轨迹，再围绕新轨迹继续线性化、求解，迭代若干次直到收敛。
总之，凸优化在火箭助推器回收降落中的核心作用，是把一个原本非凸、难以直接求解的最优控制问题，通过精心设计的松弛和重写，变成一系列可由可靠、实时的凸优化求解器解决的问题，从而实现高精度、可证明、可工程落地的自动着陆控制。